Modelo del núcleo encogido: cinética de lixiviación con ejemplo resuelto
El modelo del núcleo encogido convierte la cinética de lixiviación en una sola pregunta de diagnóstico: qué resistencia manda, la película líquida, la capa de ceniza o la reacción superficial. En el ejemplo resuelto, la misma partícula de óxido de cobre de 10 mm llega a 80% de conversión en 4.0 h, 10.0 h o 15.0 h según la respuesta, y ese factor de 3.7 se traslada directamente al tiempo de residencia y al tamaño del equipo.
Puntos clave
- Tres gráficos linealizados —X frente a t, 1 − 3(1−X)^(2/3) + 2(1−X) frente a t, y 1 − (1−X)^(1/3) frente a t— identifican el régimen controlante.
- El gráfico más lineal en la ventana de 20–80% de conversión suele nombrar el paso controlante; su pendiente es 1/τ.
- La difusión en la capa de ceniza hace que τ escale con el radio al cuadrado: el tamaño de trituración es la palanca de diseño más potente.
- El control por película es raro con buena agitación y común en pulpas mal mezcladas o zonas estancas de pila.
- Los valores de τ ajustados se convierten en horas de tanque o días de capa en pila.
Qué es el modelo
Idealiza cada partícula como una esfera densa de mineral reactivo envuelta en una coraza inerte de residuo lixiviado. Al avanzar la disolución, el frente de reacción —la frontera entre mineral fresco y residuo gastado— retrocede hacia el centro mientras el diámetro exterior se mantiene, porque la ganga no se disuelve. La conversión se relaciona con la geometría: X = 1 − (r_c/R)³.
Calculadora de volumen de reactor de lixiviación por tiempo de residencia: reglas de selección
Lixiviación en tanque frente a lixiviación en pilas
Tres resistencias actúan en serie entre el seno de la solución y ese frente, y la mayor controla la velocidad. La capa de ceniza es una coraza porosa de ganga agotada que el reactivo debe atravesar por difusión; el control por película es un régimen en que el paso lento es el transporte a través de la capa límite líquida adherida a la partícula; y el control por reacción química superficial significa que la reacción intrínseca —la ruptura de enlaces en la superficie— es la más lenta.
Para una partícula esférica de tamaño constante en estado pseudoestacionario, cada régimen tiene su ecuación, con X la conversión fraccional y τ el tiempo de conversión completa:
- Película: X = t/τ
- Capa de ceniza: 1 − 3(1−X)^(2/3) + 2(1−X) = t/τ
- Reacción superficial: 1 − (1−X)^(1/3) = t/τ
| Régimen | Tiempo de conversión completa τ | Sensibilidad al tamaño | Palanca práctica |
|---|---|---|---|
| Difusión en película | τ = ρ_B·R / (b·k_l·C_Ag) | τ ∝ R | Agitación, viscosidad, fuerza del reactivo |
| Difusión en ceniza | τ = ρ_B·R² / (6·b·D_e·C_Ag) | τ ∝ R² | Tamaño de trituración, porosidad del residuo |
| Reacción superficial | τ = ρ_B·R / (b·k_s·C_Ag) | τ ∝ R | Temperatura, fuerza del reactivo, finura del mineral |
Aquí ρ_B es la densidad molar del mineral valioso (mol/m³), k_l el coeficiente de transferencia de la película (m/s), D_e la difusividad efectiva en la ceniza (m²/s), k_s la constante superficial (m/s) y C_Ag la concentración de reactivo en el seno (mol/m³). La concentración aparece en todos los denominadores: todo lo que deprima la concentración que ve la partícula —el consumo de ácido por ganga, por ejemplo— alarga τ proporcionalmente.
Los tres regímenes
Película. La partícula consume reactivo más rápido de lo que el líquido lo entrega, la concentración cae en la capa límite y la reacción se queda sin alimento. La velocidad responde a agitación, viscosidad y carga de sólidos: la firma clásica es un ensayo de botella cuya velocidad aparente cambia al cambiar las rpm. En planta suele indicar un problema de mezcla o de transporte, no una propiedad del mineral. Como toda la superficie se alimenta por igual, τ escala linealmente con el radio y X crece lineal con el tiempo.
Capa de ceniza. La disolución en el frente es rápida y el cuello de botella es la migración tortuosa del reactivo por una coraza porosa que engrosa. Por eso la velocidad cae con la conversión y la curva se aplana a X alto. La dependencia cuadrática —τ ∝ R²— es la relación más consecuente de la cinética: reducir el tamaño a la mitad corta el tiempo en cuatro, y por eso los minerales limitados por difusión pagan cada incremento de molienda, mientras los limitados por reacción solo pagan linealmente. La temperatura influye poco, porque las energías de activación de difusión (5–20 kJ/mol) están muy por debajo de las químicas (40–80 kJ/mol).
Reacción superficial. La reacción intrínseca es la más lenta, la concentración en el frente iguala la del seno y la agitación es irrelevante. La conversión sigue 1 − (1−X)^(1/3) = t/τ, con τ ∝ R y fuerte dependencia de Arrhenius.
| Régimen | Ecuación | Gráfico linealizado (y frente a t) | Pendiente |
|---|---|---|---|
| Película | X = t/τ | X | 1/τ |
| Capa de ceniza | 1 − 3(1−X)^(2/3) + 2(1−X) = t/τ | 1 − 3(1−X)^(2/3) + 2(1−X) | 1/τ |
| Reacción superficial | 1 − (1−X)^(1/3) = t/τ | 1 − (1−X)^(1/3) | 1/τ |
Hay además un diagnóstico solo de forma, sin ajuste: la razón entre el tiempo a 90% y a 50% de conversión. Película da 1.8 (0.9/0.5); reacción, 2.6 (0.536/0.206); ceniza, 5.0 (0.554/0.110). Una curva cuya cola se estira anuncia difusión antes de correr cualquier regresión.
Cómo ajustar los datos
- Convertir ensayos a conversión. Para cada muestra: X = 1 − (metal en residuo)/(metal en cabeza), en base seca, corrigiendo por rendimiento másico cuando se pesan residuos.
- Calcular los tres términos linealizados. Para cada par (t, X): y₁ = X, y₂ = 1 − 3(1−X)^(2/3) + 2(1−X), y₃ = 1 − (1−X)^(1/3).
- Graficar y probar linealidad. El régimen cuyo gráfico es recto en la ventana de 20–80% es el controlante. Confirmar con R² de mínimos cuadrados; un ajuste que se curva sistemáticamente indica régimen equivocado o cambiante.
- Extraer τ de la pendiente. τ = 1/pendiente, con las unidades del eje de tiempo (pendiente 0.10 h⁻¹ da τ = 10 h). Informar τ junto con el tamaño y las condiciones: un τ sin tamaño no significa nada.
- Revisar la cola. La curvatura sobre 90% es normal en difusión en ceniza y patológica en control por reacción. Un ajuste recto al inicio y muy curvo al final suele indicar transición de reacción a difusión al engrosar la coraza.
- Confirmar con palancas independientes. Repetir con la mitad del radio: si τ cae a la mitad, es película o reacción (τ ∝ R); si cae a un cuarto, es difusión en ceniza (τ ∝ R²). Repetir a dos temperaturas: aceleración tipo Arrhenius confirma control químico; insensibilidad confirma difusión. Dos palancas concordantes valen más que un buen R².
Ejemplo resuelto: partícula de óxido de cobre de 10 mm
Ejemplo ilustrativo: los números son consistentes entre sí y sirven para mostrar el método, no provienen de un mineral concreto. Ensayos de botella sobre una fracción estrecha de 10 mm (R = 5.0 mm) en H₂SO₄ 0.5 mol/L a 25 °C y 600 rpm arrojan τ_película = 5 h, τ_reacción = 24 h y τ_ceniza = 40 h.
Paso 1 — película. X = t/τ, así que a X = 0.80: t = 5 h × 0.80 = 4.0 h.
Paso 2 — capa de ceniza. 1 − X = 0.20; (0.20)^(1/3) = 0.5848 y (0.20)^(2/3) = 0.3420. Entonces t/τ = 1 − 3(0.3420) + 2(0.20) = 0.374, y t = 0.374 × 40 h = 14.96 h ≈ 15.0 h.
Paso 3 — reacción superficial. t/τ = 1 − 0.5848 = 0.415, y t = 0.415 × 24 h = 9.97 h ≈ 10.0 h.
| Conversión X | Película t = 5·X (h) | Ceniza t = 40·[1 − 3(1−X)^(2/3) + 2(1−X)] (h) | Reacción t = 24·[1 − (1−X)^(1/3)] (h) |
|---|---|---|---|
| 0.25 | 1.25 | 0.94 | 2.19 |
| 0.50 | 2.50 | 4.40 | 4.95 |
| 0.80 | 4.00 | 14.96 | 9.97 |
| 0.95 | 4.75 | 27.71 | 15.16 |
| 0.99 | 4.95 | 35.23 | 18.83 |
La tabla muestra dos rasgos que todo ensayo exhibe de alguna forma. Primero, el orden de dificultad se invierte: a baja conversión la curva de reacción es la más lenta (2.19 h a X = 0.25 frente a 0.94 h de ceniza) porque la coraza aún es delgada, pero a X = 0.80 la difusión es el régimen más castigador. Segundo, las colas difieren enormemente: el último 19% cuesta 20.3 h con difusión en ceniza frente a 8.9 h con control químico.
Palanca de tamaño. Con la misma mena a 5 mm (R = 2.5 mm) y control por ceniza, τ cae de 40 a 10 h y el 80% se alcanza en 0.374 × 10 = 3.7 h, cuatro veces mejor al reducir el diámetro a la mitad. Con control químico, τ baja a 12 h y el tiempo a 5.0 h: solo la mitad. Esa asimetría es el corazón cuantitativo de la economía del chancado.
Cuándo falla el modelo
Partículas no esféricas y fracturadas. Los fragmentos son angulosos, laminares o fisurados; el frente avanza desigualmente y los factores de forma se apartan decenas de por ciento a alta conversión. Informe τ como valor aparente de esa fracción y forma, no como constante del material.
Difusividad variable. El modelo supone D_e constante, pero las corazas reales evolucionan: yeso, jarosita o hidróxido férrico precipitando en los poros reducen D_e con el tiempo, el τ ajustado deriva y el gráfico se curva. El propio desvío es diagnóstico de problemas de química de solución.
Minerales porosos y modelo de granos. Muchas menas industriales son agregados porosos de granos micrométricos. El modelo de granos los describe como miles de núcleos en miniatura, y la consecuencia es enorme: la longitud de difusión pasa a ser el radio del grano y no el de la partícula, con lo que la penalidad R² se derrumba y trituraciones gruesas pueden lixiviar casi con control por reacción. Aplicar el SCM de partícula densa a esa mena sobreestima el beneficio de moler fino.
Partículas que se encogen. Si la matriz también se disuelve no hay residuo inerte y corresponde la variante de partícula encogida; las gangas parcialmente solubles quedan entre ambos casos.
Efectos de lecho. El SCM describe una partícula en solución fresca; una pila o columna añade bypass, canalización, histéresis de humectación y perfiles de concentración. El ajuste de partícula es el punto de partida correcto, pero el escalamiento necesita hidrología de lecho: por eso los ensayos de columna, y no solo de botella, sostienen el diseño de pilas.
De la cinética al dimensionamiento
Tanques agitados. Con el ajuste por reacción del ejemplo (τ = 24 h a R = 5 mm) y 90% de extracción: t = 24 × [1 − (0.10)^(1/3)] = 24 × 0.5358 = 12.9 h de lote ideal. Los trenes continuos nunca logran flujo pistón ideal —el cortocircuito cuesta 25–35% de la cinética teórica en números de etapa típicos—, así que un diseño al 70% de eficiencia de etapa necesita 12.9/0.70 ≈ 18.4 h de residencia total, repartidas convencionalmente en tres tanques de unas 6 h. Dos advertencias: ajuste τ a la densidad de pulpa de diseño, porque cargas altas de sólidos pueden empujar un sistema de reacción hacia control por película; y reajuste tras cualquier cambio de trituración, porque con τ ∝ R un alimento más grueso estira silenciosamente cada tanque.
diseño de tanques de lixiviación agitados
Pilas. Los parámetros llegan de columnas y el régimen ajustado dicta la respuesta: un ajuste controlado por ceniza (τ ∝ R²) exige molienda más fina y capas más largas con ciclos extendidos; un ajuste por reacción indica que el tamaño importa menos que el contacto con solución y el suministro de reactivo. La curva ajustada también fija el corte económico: con los números anteriores, pasar de X = 0.80 a 0.95 bajo control difusional cuesta 12.8 días extra por capa, una disyuntiva que debe decidirse explícitamente y no por omisión.
Preguntas frecuentes
¿Qué supone el SCM?
Partículas esféricas de tamaño externo constante con esqueleto de ganga inerte, frente de reacción nítido que avanza hacia dentro, difusión pseudoestacionaria y un solo paso controlante entre película, ceniza y reacción superficial. Las desviaciones —partículas angulosas, porosidad que colapsa, control mixto— aparecen como curvatura en los gráficos linealizados.
¿Qué régimen controla habitualmente la lixiviación industrial?
En tanques bien agitados con mineral moderadamente fino dominan la reacción superficial o la difusión en ceniza; el control por película es poco común porque el mezclado mantiene delgada la capa límite. En pilas y minerales gruesos domina la difusión. El régimen también puede cambiar con la conversión, de reacción al inicio a difusión al final.
¿Cómo distingo película de ceniza experimentalmente?
Cambiando agitación y temperatura. La película responde fuerte a la velocidad de agitación y poco a la temperatura, porque las energías de activación de transferencia son bajas. La ceniza también es poco sensible a la temperatura pero insensible a la agitación y su τ escala con el cuadrado del tamaño. Una matriz de dos tamaños y dos temperaturas separa los regímenes con solo cuatro corridas.