Isoterma de extracción McCabe-Thiele: etapas a mano

Una isoterma de extracción McCabe-Thiele convierte datos medidos de agitación en un número de etapas teóricas: grafique la curva de equilibrio, trace la línea de operación desde el balance de masa y escalone etapas entre ambas. Para un PLS de cobre típico de 2.00 g/L la construcción da 2 etapas teóricas de extracción, y cualquier conteo publicado aún necesita la corrección de eficiencia de 85–95% por etapa antes de dimensionar mezcladores reales.

Puntos clave

• La isoterma se mide, no se supone: seis puntos de agitación en el rango de O/A definen la curva.
• La línea de operación viene del balance de masa; su pendiente es la relación de caudales acuoso/orgánico.
• Escalonar es rebotar entre isoterma y línea de operación hasta alcanzar el refinado objetivo.
• Los conteos publicados suponen equilibrio perfecto: divida las etapas teóricas por 0.85–0.95.
• Un punto de pinzamiento significa que la meta es inalcanzable a esa relación O/A —cambie caudales o química, no el dibujo—.

Qué es y qué significan sus componentes

Es la adaptación a extracción por solventes del clásico diagrama de McCabe-Thiele: un solo gráfico que combina curva de equilibrio y línea de operación para contar a mano los contactos de una cascada en contracorriente. La isoterma relaciona el metal en la fase orgánica en equilibrio con el metal en la fase acuosa en equilibrio, típicamente medida entre 0.1 y 5 g/L para PLS de cobre, y es específica de la concentración de reactivo, diluyente, pH y temperatura de la medición. La línea de operación une los extremos rico y pobre de la cascada con pendiente igual a la relación de caudales acuoso/orgánico: representa la restricción que impone el balance de masa, mientras la isoterma impone la química. Una etapa teórica es un contacto mezcla-decantación que lleva sus dos corrientes de salida a equilibrio mutuo, algo que ningún mezclador industrial logra del todo. El factor de separación compara los coeficientes de distribución de dos metales, D(A)/D(B): en un circuito de cobalto/níquel, un factor de 250 significa que el lavado necesita muy pocas etapas, mientras uno cercano a 10 puede hacer la especificación inalcanzable con cualquier número de etapas. El punto de pinzamiento aparece donde la línea de operación toca la isoterma: la fuerza motriz se anula y agregar etapas no transfiere nada. Los ejes importan: x siempre metal en acuosa (g/L), y siempre metal en orgánico (g/L).

Cómo construir la isoterma desde ensayos de agitación

1. Fije alimentación y sistema de reactivo. Decida ley, pH, concentración de reactivo, diluyente y temperatura: la isoterma solo vale en esas condiciones.
2. Corra la matriz de agitación. Contacte licor y orgánico en un rango de O/A —para un PLS de 2 g/L, aproximadamente 0.15:1 a 4:1— en frascos sellados, 3–5 minutos a temperatura controlada, con separación completa y cada punto por duplicado.
3. Analice ambas fases. Mida metal en refinado y en orgánico cargado; nunca calcule una por diferencia de la otra como única fuente.
4. Grafique la isoterma. Acuosa en x, carga orgánica en y, un punto por ensayo, y una curva suave monótona que se aplana hacia la capacidad de carga del reactivo.
5. Trace la línea de operación. De los caudales previstos calcule los dos extremos: rico (ley de alimentación, orgánico cargado) y pobre (refinado objetivo, orgánico reextraído).
6. Escaleone etapas y corrija por eficiencia. Recorra entre isoterma y línea como en los ejemplos siguientes y divida el conteo teórico por la eficiencia esperada.

Cada fila cierra su balance: el metal retirado de la acuosa, (2.00 − salida), debe igualar O/A por la carga orgánica. La segunda fila retira 1.70 g/L y 1.89 × 0.90 ≈ 1.70 aparece en el orgánico. La curva es empinada a baja ley y se aplana sobre 1.9 g/L de carga, donde el reactivo se acerca a saturación: allí se forman los pinzamientos.

Ejemplo 1: conteo de etapas para cobre

Servicio: PLS de 2.00 g/L Cu, refinado objetivo 0.30 g/L (85% de extracción global), orgánico reextraído con ley pobre de 0.20 g/L, O/A de 1.0:1 sobre base de 1 L/min de PLS. El balance exige F × (x_in − x_out) = O × (y_out − y_in): 1.00 × (2.00 − 0.30) = 1.00 × (y_out − 0.20), de donde y_out = 1.90 g/L. La línea de operación tiene pendiente 1.00 y pasa por (0.30, 0.20) y (2.00, 1.90): y = x − 0.10.

Escalonado: desde (2.00, 1.90) horizontal hasta la isoterma, que pasa por (1.00, 1.90) —punto medido, sin interpolar—: la etapa 1 deja la acuosa en 1.00 g/L. Vertical a la línea de operación en x = 1.00 da y = 0.90. Horizontal otra vez: la isoterma pasa por (0.30, 0.90), otro punto medido, y la acuosa llega justo al objetivo. Dos pasos: 2 etapas teóricas.

Las dos comprobaciones se cumplen: equilibrio (pares (1.00, 1.90) y (0.30, 0.90) sobre la isoterma medida) y balance (la etapa 1 transfiere 1.00 g/L en ambos sentidos; la etapa 2, 0.70 g/L; total 1.70 g/L retirado del PLS e igual ganado por el orgánico). Corrección de eficiencia: N_real = N_teórico / E; con 90% por etapa, 2 / 0.90 = 2.2, que redondea a 3 cajas de mezcla —o justifica 2 solo si el piloto verifica eficiencia en el tope del rango—. Es la omisión más común cuando se citan conteos de manual: los números suponen contactos perfectos que ningún mezclador-decantador industrial entrega.

Ejemplo 2: sección de lavado de níquel/cobalto

Servicio: orgánico cargado de un circuito Cyanex 272 con 10.0 g/L Co y 0.40 g/L Ni; antes de reextraer se lava con ácido diluido a O/A 4:1 para bajar el níquel a ≤0.05 g/L, con licor de lavado prácticamente libre de níquel.

La química se resume en un factor de separación, el dato que la isoterma de un solo metal no puede dar. A la acidez de lavado, D_Co ≈ 25 y D_Ni ≈ 0.10, de modo que β = D_Co/D_Ni ≈ 250. Ese número explica por qué la sección es corta: el níquel pasa al licor y el cobalto se queda, perdiendo solo unos 0.10 g/L de cobalto por litro de orgánico, cerca de 1% del inventario. Equilibrio: y = 0.10x. Línea de operación: con 1 L/min de orgánico y 0.25 L/min de lavado, pendiente A/O = 0.25; el balance la fija en y = 0.25x + 0.04, de (1.44, 0.40) a (0, 0.04).

Escalonado: x_1 = (0.40 − 0.04)/0.25 = 1.44 g/L; y_1 = 0.10 × 1.44 = 0.144; x_2 = (0.144 − 0.04)/0.25 = 0.416; y_2 = 0.0416; x_3 ≈ 0.006. Dos pasos: 2 etapas teóricas de lavado, y el orgánico lavado a 0.04 g/L cumple la especificación de 0.05 con margen. Los balances cierran: la etapa 1 cede 0.26 g/L de níquel ((1.44 − 0.41) × 0.25 = 0.26) y la etapa 2 unos 0.10 g/L; total 0.36 g/L, igual a 1.44 × 0.25.

La sensibilidad que importa: si el control de acidez falla y D_Ni sube a 0.30, las mismas dos etapas dejan 0.16 g/L de níquel, y ningún número de etapas lo arregla, porque la fuerza motriz se debilita hasta una asíntota cercana a 0.067 g/L. La respuesta es química —más acidez de lavado, más lavado aguas arriba—, no gráfica.

Ejemplo 3: línea de operación en reextracción

La sección de reextracción cierra el circuito: orgánico cargado a 1.90 g/L Cu debe bajar a ≤0.20 g/L con electrolito gastado que entra a 32.0 g/L Cu y unos 180 g/L de ácido libre. Los ensayos a esa acidez dan una isoterma plana y desfavorable —la afinidad del reactivo se invierte con la acidez—: (32, 0.14), (36, 0.22), (40, 0.32), (44, 0.45), (48, 0.60) en pares (Cu acuoso, Cu orgánico). Compare esos valores con los 1.90 g/L del ejemplo 1: a acidez de reextracción el reactivo casi no retiene nada, que es justamente el objetivo.

La relación O/A la fija el avance de electrolito, no la extracción: la electroobtención necesita el electrolito de avance unos 10 g/L más rico que el gastado, así que el caudal acuoso por unidad de orgánico es pequeño —aquí O/A 6:1, es decir A/O 0.167—. Sobre 1 L/min de orgánico, el electrolito es 0.167 L/min y 0.167 × (x_avance − 32.0) = 1.90 − y_reextraído.

Etapa 1: el orgánico sale en equilibrio con electrolito de avance a 42.4 g/L, y la isoterma da 0.40 g/L. Vertical a la línea (pendiente A/O = 0.167): x_2 = 42.4 − 6 × (1.90 − 0.40) = 33.4. Etapa 2: la isoterma a 33.4 g/L da 0.17. Un paso vertical más cae en 42.4 − 6 × (1.90 − 0.17) = 32.0, exactamente el electrolito gastado: 2 etapas teóricas de reextracción. ¿Por qué no una? Una sola etapa dejaría el orgánico en unos 0.36 g/L, casi el doble de la especificación, porque la última etapa equilibra con electrolito ya cargado a 32 g/L. De ahí la regla de 2–3 etapas de reextracción con relación acuoso/orgánico mucho menor, y la tercera caja se justifica con la misma corrección: 2 / 0.90 ≈ 2.2.

Seis trampas explican casi todos los conteos malos: la línea no intersecta los extremos porque el O/A es un valor supuesto; el extremo cargado queda sobre la isoterma porque se pidió más carga de la que el reactivo entrega; se instalaron etapas teóricas sin corrección; la isoterma se midió a pH fijo mientras la planta recorre un perfil de pH; el último escalón no aterriza por un pinzamiento real; o los ensayos se cortaron antes del equilibrio y la curva es una foto cinética que no se reproduce.

Preguntas frecuentes

¿Cuántos puntos de agitación necesito para una isoterma confiable?

Seis a ocho puntos repartidos en el rango de O/A suelen bastar, siempre que cubran ambos extremos de diseño. Los críticos son el extremo del refinado, donde la curva es empinada y las etapas se amontonan, y la meseta de carga, donde vive el riesgo de pinzamiento. Una curva de tres o cuatro puntos obliga a interpolar justo donde la precisión importa.

¿Cómo convierto etapas teóricas en cajas de mezcla reales?

Divida por la eficiencia por etapa y redondee hacia arriba: N_real = N_teórico / E, con E típicamente 0.85–0.95. Dos etapas teóricas con E = 0.90 dan 2.2, es decir tres cajas instaladas, o dos aceptadas con un castigo documentado en el refinado. Nunca cotice un conteo teórico a construcción sin esta corrección: la diferencia es concreto, tanques e inventario de orgánico.

¿La línea de operación alguna vez se curva?

Solo se mantiene recta mientras caudales y volúmenes de fase sean constantes. En lavado y reextracción, y donde la transferencia es densa, los volúmenes cambian y el O/A difiere etapa a etapa, así que la línea se vuelve una curva por tramos. Para PLS diluidos la recta suele ser aceptable; para alimentaciones concentradas, construya segmento por segmento.

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